定義
実部が正となる実数 \(s\) について
\({\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{s-1}\,{\rm {d}}x}\)
性質
任意の自然数 \(n\) について
\(\displaystyle \Gamma (s)>0\)
\(\displaystyle \Gamma (s+1)=s\Gamma (s)\)
\(\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!\)
\(\displaystyle \Gamma (n-\frac{1}{2})=\frac{(2n-3)!!}{2^{n-1}}\sqrt{\pi}\)
公式
\(a>-1\), \(b>-1\) について
\(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^a\theta cos^b\theta d\theta = {{\Gamma (\frac{a+1}{2})\Gamma (\frac{b+1}{2})}\over{2\Gamma (\frac{a+b+2}{2})}}\)