$V$ と $W$ とを同じ体 $\mathbb{F}$ の上のベクトル空間とする。 $V$ から $W$ への写像 $f$ が、任意のベクトル $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in V$ と任意のスカラー $c \in \mathbb{F}$ に対し、
加法性：
$f(\mathbf{x}+\mathbf{y})=f(\mathbf{x})+f(\mathbf{y})$
斉一次性：
$f(c \mathbf{x})=c f(\mathbf{x})$
をともに満たすとき、$f$ を $\mathbb{F}$ 上の線型写像または簡単に $\mathbb{F}$－線型写像という。